直交曲線座標系における勾配 (grad)

勾配の定義

デカルト座標系において勾配 (grad) はスカラー場 \(f\) に対して以下にように定義されます。
\[
\nabla f=
\frac{\partial f}{\partial x} \mathbf e_x +
\frac{\partial f}{\partial y} \mathbf e_y +
\frac{\partial f}{\partial z} \mathbf e_z \label{eq:define-grad}
\]

このとき、直交曲線座標系では勾配は以下の式で表されることを証明します。
\[\begin{align}
\nabla f =
\frac{1}{h_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \mathbf e_1 +
\frac{1}{h_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \mathbf e_2 +
\frac{1}{h_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \mathbf e_3
\end{align}\]

単位ベクトルの勾配

直交曲線座標 \(q_1\)、\(q_2\)、\(q_3\) のうち、\(q_1\) の勾配を考えてみます。
\[
\nabla q_1 =
\frac{\partial q_1}{\partial x} \mathbf e_x +
\frac{\partial q_1}{\partial y} \mathbf e_y +
\frac{\partial q_1}{\partial z} \mathbf e_z
\]

これを直交曲線座標 \(q_1\)、\(q_2\)、\(q_3\) に変数変換します。
\[\begin{align}
\nabla q_1 =
&\left(
\frac{\partial q_1}{\partial q_1}\frac{\partial q_1}{\partial x} +
\frac{\partial q_1}{\partial q_2}\frac{\partial q_2}{\partial x} +
\frac{\partial q_1}{\partial q_3}\frac{\partial q_3}{\partial x}
\right) \mathbf e_x + \nonumber\\
&\left(
\frac{\partial q_1}{\partial q_1}\frac{\partial q_1}{\partial y} +
\frac{\partial q_1}{\partial q_2}\frac{\partial q_2}{\partial y} +
\frac{\partial q_1}{\partial q_3}\frac{\partial q_3}{\partial y}
\right) \mathbf e_y + \nonumber\\
&\left(
\frac{\partial q_1}{\partial q_1}\frac{\partial q_1}{\partial z} +
\frac{\partial q_1}{\partial q_2}\frac{\partial q_2}{\partial z} +
\frac{\partial q_1}{\partial q_3}\frac{\partial q_3}{\partial z}
\right) \mathbf e_z \\
\end{align}\]

直交曲線座標 \(q_1\)、\(q_2\)、\(q_3\) は直交しているので、\(i\neq j\) のとき、\(\displaystyle \frac{\partial q_i}{\partial q_j} = 0\) であることを使えば、
\[\begin{align}
\nabla q_1 &=
\frac{\partial q_1}{\partial x}
\mathbf e_x +
\frac{\partial q_1}{\partial y}
\mathbf e_y +
\frac{\partial q_1}{\partial z}
\mathbf e_z \\
\end{align}\]

直交曲線座標とデカルト座標の微分変数の交換の公式から
\[
\frac{\partial q_i}{\partial x} = \frac{1}{h_i^2} \frac{\partial x}{\partial q_i}
\]
を代入すると
\[\begin{align}
\nabla q_1 &=
\frac{1}{h_1^2} \frac{\partial x}{\partial q_1}
\mathbf e_x +
\frac{1}{h_1^2} \frac{\partial y}{\partial q_1}
\mathbf e_y +
\frac{1}{h_1^2} \frac{\partial z}{\partial q_1}
\mathbf e_z \\
&= \frac{1}{h_1^2} \frac{\partial \mathbf r}{\partial q_1}
\end{align}\]

また直交曲線座標系の単位ベクトルより
\[
\frac{\partial \mathbf r}{\partial q_i} = h_i \mathbf e_i
\]
を代入すると
\[\begin{align}
\nabla q_1 &= \frac{\mathbf e_1}{h_1} \label{eq:nabla-curvilinear}
\end{align}\]

直交曲線座標における勾配

今度は一般的なスカラー場 \(f\) に対して同様に勾配を計算します。

まずは式 \eqref{eq:define-grad} に対して、これを直交曲線座標 \(q_1\)、\(q_2\)、\(q_3\) に変数変換します。
\[\begin{align}
\nabla f =
&\left(
\frac{\partial f}{\partial q_1}\frac{\partial q_1}{\partial x} +
\frac{\partial f}{\partial q_2}\frac{\partial q_2}{\partial x} +
\frac{\partial f}{\partial q_3}\frac{\partial q_3}{\partial x}
\right) \mathbf e_x + \nonumber\\
&\left(
\frac{\partial f}{\partial q_1}\frac{\partial q_1}{\partial y} +
\frac{\partial f}{\partial q_2}\frac{\partial q_2}{\partial y} +
\frac{\partial f}{\partial q_3}\frac{\partial q_3}{\partial y}
\right) \mathbf e_y + \nonumber\\
&\left(
\frac{\partial f}{\partial q_1}\frac{\partial q_1}{\partial z} +
\frac{\partial f}{\partial q_2}\frac{\partial q_2}{\partial z} +
\frac{\partial f}{\partial q_3}\frac{\partial q_3}{\partial z} +
\right) \mathbf e_z \\
\end{align}\]
\(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial q_i}\) をくくりだして式をまとめ直すと、

\[\begin{align}
\nabla f =
& \frac{\partial f}{\partial q_1}
\left(
\frac{\partial q_1}{\partial x} \mathbf e_x +
\frac{\partial q_1}{\partial y} \mathbf e_y +
\frac{\partial q_1}{\partial z} \mathbf e_z
\right) + \nonumber\\
& \frac{\partial f}{\partial q_2}
\left(
\frac{\partial q_2}{\partial x} \mathbf e_x +
\frac{\partial q_2}{\partial y} \mathbf e_y +
\frac{\partial q_2}{\partial z} \mathbf e_z
\right) + \nonumber\\
& \frac{\partial f}{\partial q_3}
\left(
\frac{\partial q_3}{\partial x} \mathbf e_x +
\frac{\partial q_3}{\partial y} \mathbf e_y +
\frac{\partial q_3}{\partial z} \mathbf e_z
\right) \\
\end{align}\]

これと式 \eqref{eq:define-grad} の定義と比較して、
\[\begin{align}
\nabla f =
\frac{\partial f}{\partial q_1} \nabla q_1 +
\frac{\partial f}{\partial q_2} \nabla q_2 +
\frac{\partial f}{\partial q_3} \nabla q_3 \\
\end{align}\]

式 \eqref{eq:nabla-curvilinear} を代入して
\[\begin{align}
\nabla f =
\frac{1}{h_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \mathbf e_1 +
\frac{1}{h_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \mathbf e_2 +
\frac{1}{h_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \mathbf e_3
\end{align}\]

参考

直交曲線座標系における発散 (div)
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