直交曲線座標系における単位ベクトル

直交曲線座標系における単位ベクトルの偏微分

直交曲線座標を \((q_1, q_2, q_3)\) と書くことにし、この位置での直交曲線座標系の単位ベクトルを \((\mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3)\) と書くことにします。

ここでは、単位ベクトル\((\mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3)\) を直交曲線座標 \((q_1, q_2, q_3)\) で偏微分した場合、以下の等式が成立することを証明します。
\[\begin{align}
\frac{\partial \mathbf e_j}{\partial q_i}
&= \frac{1}{h_j}\frac{\partial h_i}{\partial q_j} \mathbf e_i \qquad (i\neq j のとき)\\
\frac{\partial \mathbf e_i}{\partial q_i}
&= -\sum_{k\neq i} \frac{1}{h_k}\frac{\partial h_i}{\partial q_k}\mathbf e_k \\
\end{align}\]
ただし、\(\displaystyle h_i = \left|\frac{\partial \mathbf r}{\partial q_i}\right|\)です。

直交曲線座標系における単位ベクトルの定義

まずは直交曲線座標の基底となる単位ベクトル \((\mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3)\) を求めます。

直交基底の定義より基底の単位ベクトルには以下の関係式が成立します。
\[\begin{align}
\mathbf e_i \cdot \mathbf e_i &= 1 \\
\mathbf e_i \cdot \mathbf e_j &= 0 \qquad (i \neq j のとき) \\
\end{align}\]

直交曲線座標 \((q_1, q_2, q_3)\) で位置\(\mathbf r\)を微分すると各単位ベクトルの方向がわかります。
\[\begin{align}
\frac{\partial \mathbf r}{\partial q_1} &= \frac{\partial x}{\partial q_1} \mathbf e_x + \frac{\partial y}{\partial q_1} \mathbf e_y + \frac{\partial z}{\partial q_1}\mathbf e_z\\
\frac{\partial \mathbf r}{\partial q_2} &= \frac{\partial x}{\partial q_2} \mathbf e_x + \frac{\partial y}{\partial q_2} \mathbf e_y + \frac{\partial z}{\partial q_2}\mathbf e_z\\
\frac{\partial \mathbf r}{\partial q_3} &= \frac{\partial x}{\partial q_3} \mathbf e_x + \frac{\partial y}{\partial q_3} \mathbf e_y + \frac{\partial z}{\partial q_3}\mathbf e_z\\
\end{align}\]

各式の絶対値を\(h_1\)、\(h_2\)、\(h_3\) とおくと
\[\begin{align}
h_1 &= \left|\frac{\partial \mathbf r}{\partial q_1}\right| = \sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial q_1}\right)^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial q_1}\right)^2+ \left(\frac{\partial z}{\partial q_1}\right)^2} \\
h_2 &= \left|\frac{\partial \mathbf r}{\partial q_2}\right| = \sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial q_2}\right)^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial q_2}\right)^2+ \left(\frac{\partial z}{\partial q_2}\right)^2} \\
h_3 &= \left|\frac{\partial \mathbf r}{\partial q_3}\right| = \sqrt{\left(\frac{\partial x}{\partial q_3}\right)^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial q_3}\right)^2+ \left(\frac{\partial z}{\partial q_3}\right)^2} \\
\end{align}\]

座標 \((q_1, q_2, q_3)\) に対応する座標軸の単位ベクトル \(\mathbf e_1\) の長さはそれぞれ 1 なので、
\[\begin{align}
\mathbf e_1 &= \frac{\displaystyle \frac{\partial \mathbf r}{\partial q_1}} {\left|\displaystyle \frac{\partial \mathbf r}{\partial q_1}\right|} = \frac{1}{h_1} \frac{\partial \mathbf r}{\partial q_1} \\
\end{align}\]
同様に
\[\begin{align}
\mathbf e_2 &= \frac{1}{h_2} \frac{\partial \mathbf r}{\partial q_2} \\
\mathbf e_3 &= \frac{1}{h_3} \frac{\partial \mathbf r}{\partial q_3} \\
\end{align}\]

これが直交曲線座標系の単位ベクトルの定義となります。

直交曲線座標の単位ベクトルの微分と単位ベクトルの内積

単位ベクトルの偏微分と元の単位ベクトルは直交して内積は 0 になります。たとえば 1 番目の座標軸の単位ベクトル \(\mathbf e_1\) を 2 番目の座標 \(q_2\) で偏微分すると
\[\begin{align}
\frac{\partial \mathbf e_1}{\partial q_2} \cdot \mathbf e_1
&=\frac {1}{2} \frac{\partial (\mathbf e_1 \cdot \mathbf e_1)}{\partial q_2}
=\frac {1}{2} \frac{\partial (1)}{\partial q_2} = 0 \\
\end{align}\]
他の座標軸についても同様の直交関係が成立します。
\[\begin{align}
\frac{\partial \mathbf e_i}{\partial q_j} \cdot \mathbf e_i = 0 \label{eq:unit-vector-orthogonal1}
\end{align}\]

一方で単位ベクトルの偏微分とそれ以外の座標軸の単位ベクトルは直交しません。この場合、一種の反交換関係があり、たとえば \(\mathbf e_1\) の偏微分と \(\mathbf e_3\) の内積は、\(\mathbf e_3\) の偏微分と \(\mathbf e_1\) の内積の -1 倍と等しいです。
\[\begin{align}
\frac{\partial \mathbf e_1}{\partial q_2} \cdot \mathbf e_3
&= \frac{\partial}{\partial q_2}\{\mathbf e_1 \cdot \mathbf e_3\} – \frac{\partial \mathbf e_3}{\partial q_2} \cdot \mathbf e_1 \nonumber\\
&= – \frac{\partial \mathbf e_3}{\partial q_2} \cdot \mathbf e_1 \\
\end{align}\]

同様に \(i\)、\(k\)が異なる座標軸として以下の反交換関係が成立します。
\[\begin{align}
\frac{\partial \mathbf e_i}{\partial q_j} \cdot \mathbf e_k
&= – \frac{\partial \mathbf e_k}{\partial q_j} \cdot \mathbf e_i \\
\end{align}\]

直交曲線座標の計量の性質

ここで \(h_1 \mathbf e_1\) を微分してみます。
\[\begin{align}
\frac{\partial}{\partial q_2} \left\{h_1 \mathbf e_1\right\}
&= \frac{\partial} {\partial q_2}\left\{\frac{\partial \mathbf r}{\partial q_1}\right\}\\
\end{align}\]

積の微分公式より以下の式が得られます。
\[\begin{align}
\frac{\partial h_1}{\partial q_2}\mathbf e_1
+ h_1 \frac{\partial \mathbf e_1}{\partial q_2}
&= \frac{\partial^2 \mathbf r}{\partial q_2\partial q_1}
\end{align}\]
右辺の\(\mathbf r\) の 2 階微分は \(q_1\) と \(q_2\) の微分の順番によらないので、座標軸を表す 1 と 2 を左辺でひっくり返したものと等しくて、
\[\begin{align}
\frac{\partial h_1}{\partial q_2}\mathbf e_1
+ h_1 \frac{\partial \mathbf e_1}{\partial q_2}
&= \frac{\partial h_2}{\partial q_1}\mathbf e_2 + h_2 \frac{\partial \mathbf e_2}{\partial q_1} \label{eq:unit-vector-second-derivative}
\end{align}\]

両辺で\(\mathbf e_3\) と内積を取ると
\[\begin{align}
\frac{\partial h_1}{\partial q_2}\mathbf e_1 \cdot \mathbf e_3
+ h_1 \frac{\partial \mathbf e_1}{\partial q_2} \cdot \mathbf e_3
&= \frac{\partial h_2}{\partial q_1}\mathbf e_2 \cdot \mathbf e_3
+ h_2 \frac{\partial \mathbf e_2}{\partial q_1} \cdot \mathbf e_3
\end{align}\]
直交基底の性質 (\(i \neq j\) のとき \(\mathbf e_i \cdot \mathbf e_j = 0\)) から
\[\begin{align}
h_1 \frac{\partial \mathbf e_1}{\partial q_2} \cdot \mathbf e_3
&= h_2 \frac{\partial \mathbf e_2}{\partial q_1} \cdot \mathbf e_3
\end{align}\]
同様に
\[\begin{align}
h_2 \frac{\partial \mathbf e_2}{\partial q_3} \cdot \mathbf e_1
&= h_3 \frac{\partial \mathbf e_3}{\partial q_2} \cdot \mathbf e_1 \\
h_3 \frac{\partial \mathbf e_3}{\partial q_1} \cdot \mathbf e_2
&= h_1 \frac{\partial \mathbf e_1}{\partial q_3} \cdot \mathbf e_2 \\
\end{align}\]

これらの式を使うと
\[\begin{align}
h_1 \frac{\partial \mathbf e_1}{\partial q_2} \cdot \mathbf e_3
&= h_2 \frac{\partial \mathbf e_2}{\partial q_1} \cdot \mathbf e_3 \nonumber\\
&= – h_2 \frac{\partial \mathbf e_3}{\partial q_1} \cdot \mathbf e_2 \nonumber\\
&= -\frac{h_1 h_2}{h_3} \frac{\partial \mathbf e_1}{\partial q_3} \cdot \mathbf e_2 \nonumber\\
&= \frac{h_1 h_2}{h_3} \frac{\partial \mathbf e_2}{\partial q_3} \cdot \mathbf e_1 \nonumber\\
&= h_1 \frac{\partial \mathbf e_3}{\partial q_2} \cdot \mathbf e_1 \nonumber\\
&= -h_1 \frac{\partial \mathbf e_1}{\partial q_2} \cdot \mathbf e_3 \\
\end{align}\]

よって、最後の式を左辺へ移項して整理すると
\[\begin{align}
\frac{\partial \mathbf e_1}{\partial q_2} \cdot \mathbf e_3 = 0\\
\end{align}\]

同様に \(i\)、\(j\)、\(k\)がいずれも異なる座標軸の場合、以下の式が成立します。
\[\begin{align}
\frac{\partial \mathbf e_i}{\partial q_j} \cdot \mathbf e_k = 0 \label{eq:unit-vector-orthogonal2} \\
\end{align}\]

直交曲線座標系における単位ベクトルの微分

直交直線座標系ではデカルト座標系と違って、位置が違うと単位ベクトルの方向も違います。単位ベクトルが位置が変わるにつれて、どのように変化するかは単位ベクトルを各座標軸で微分してみればわかります。

このために、単位ベクトルの微分を以下のように各座標軸成分に分解します。
\[\begin{align}
\frac{\partial \mathbf e_j}{\partial q_i}
&= \sum_k \left(\frac{\partial \mathbf e_j}{\partial q_i} \cdot \mathbf e_k \right) \mathbf e_k \end{align}\]

これで各成分の内積を計算してみましょう。

異なる座標軸での微分

式 \eqref{eq:unit-vector-second-derivative} を今度は両辺で \(\mathbf e_1\) と内積をとると、
\[\begin{align}
\frac{\partial h_1}{\partial q_2}\mathbf e_1 \cdot \mathbf e_1
+ h_1 \frac{\partial \mathbf e_1}{\partial q_2} \cdot \mathbf e_1
&= \frac{\partial h_2}{\partial q_1}\mathbf e_2\cdot \mathbf e_1
+ h_2 \frac{\partial \mathbf e_2}{\partial q_1} \cdot \mathbf e_1
\end{align}\]

式 \eqref{eq:unit-vector-orthogonal1} の単位ベクトルの性質を用いて
\[\begin{align}
\frac{\partial h_1}{\partial q_2}
&= h_2 \frac{\partial \mathbf e_2}{\partial q_1} \cdot \mathbf e_1
\end{align}\]
移項して
\[\begin{align}
\frac{\partial \mathbf e_2}{\partial q_1} \cdot \mathbf e_1
&= \frac{1}{h_2}\frac{\partial h_1}{\partial q_2} \label{eq:measure-derivative}
\end{align}\]
一方で式 \eqref{eq:unit-vector-orthogonal1} より
\[\begin{align}
\frac{\partial \mathbf e_2}{\partial q_1} \cdot \mathbf e_2 = 0
\end{align}\]
また式 \eqref{eq:unit-vector-orthogonal2} より
\[\begin{align}
\frac{\partial \mathbf e_2}{\partial q_1} \cdot \mathbf e_3 = 0
\end{align}\]

以上より単位ベクトルの微分の各座標軸成分が
\[\begin{align}
\frac{\partial \mathbf e_2}{\partial q_1}
&= \sum_i \left(\frac{\partial \mathbf e_2}{\partial q_1} \cdot \mathbf e_i \right) \mathbf e_i \nonumber \\
&= \frac{1}{h_2}\frac{\partial h_1}{\partial q_2} \mathbf e_1
\end{align}\]

同様に他の座標軸についても、\(i \neq j\) に対して
\[\begin{align}
\frac{\partial \mathbf e_j}{\partial q_i}
&= \frac{1}{h_j}\frac{\partial h_i}{\partial q_j} \mathbf e_i
\end{align}\]

同じ座標軸での微分

式 \eqref{eq:unit-vector-orthogonal1} より
\[\begin{align}
\frac{\partial \mathbf e_1}{\partial q_1} \cdot \mathbf e_1 = 0
\end{align}\]
また式 \eqref{eq:measure-derivative} より
\[\begin{align}
\frac{\partial \mathbf e_1}{\partial q_1} \cdot \mathbf e_2
&= – \frac{\partial \mathbf e_2}{\partial q_1} \cdot \mathbf e_1 \\
&= – \frac{1}{h_2} \frac{\partial h_1}{\partial q_2}
\end{align}\]
同様に
\[\begin{align}
\frac{\partial \mathbf e_1}{\partial q_1} \cdot \mathbf e_3
&= – \frac{1}{h_3}\frac{\partial h_1}{\partial q_3}
\end{align}\]

以上より単位ベクトルの微分の各座標軸成分が
\[\begin{align}
\frac{\partial \mathbf e_1}{\partial q_1}
&= \sum_k \left(\frac{\partial \mathbf e_1}{\partial q_1} \cdot \mathbf e_k \right) \mathbf e_k \nonumber \\
&= -\sum_{k\neq 1} \frac{1}{h_k}\frac{\partial h_1}{\partial q_k}\mathbf e_k
\end{align}\]

他の座標軸でも同様に、まとめると以下のようになります。
\[\begin{align}
\frac{\partial \mathbf e_i}{\partial q_i}
&= -\sum_{k\neq i} \frac{1}{h_k}\frac{\partial h_i}{\partial q_k}\mathbf e_k
\end{align}\]

参考

直交曲線座標とデカルト座標の微分変数の交換
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