球座標系におけるラプラシアン

球座標の定義

\((r, \theta, \phi)\) で 3 次元座標を表すのが球座標です。
球座標と直交座標 \((x, y, z)\) の間には以下の関係があります。
\[\begin{align}
x &= r \sin\theta \cos\phi\\
y &= r \sin\theta \sin\phi\\
z &= r \cos\theta\\
\end{align}\]

スケール因子

各座標軸に対するスケール因子 \(h_i\) を計算すると以下のようになります。
\[\begin{align}
h_r^2 &= \left(\frac{\partial x}{\partial r}\right)^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial r}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial r}\right)^2 \nonumber\\
&= (\sin\theta \cos\phi)^2 + (\sin\theta \sin\phi)^2 + (\cos\theta)^2 \nonumber\\
&= 1\\
h_\theta^2 &= \left(\frac{\partial x}{\partial \theta}\right)^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial \theta}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial \theta}\right)^2 \nonumber\\
&= (r\cos\theta \cos\phi)^2 + (r\cos\theta \sin\phi)^2 + (-r\sin\theta)^2\nonumber\\
&= r^2\\
h_\phi^2 &= \left(\frac{\partial x}{\partial \phi}\right)^2 + \left(\frac{\partial y}{\partial \phi}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial \phi}\right)^2 \nonumber\\
&= (-r\sin\theta \sin\phi)^2 + (r \sin\theta \cos\phi)^2 \nonumber\\
&= r^2\sin^2\theta
\end{align}\]
それぞれ両辺の平方根を取って
\[\begin{align}
h_r &= 1\\
h_\theta &= r\\
h_\phi &= r\sin\theta
\end{align}\]

ラプラシアン

直交曲線座標系におけるラプラシアンは以下のように表されます。
\[\begin{align}
&\nabla\cdot\nabla \psi(r, \theta, \phi) \nonumber\\
& =
\frac{1}{h_r h_\theta h_\phi}
\left[
\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{h_\theta h_\phi}{h_r} \frac{\partial \psi}{\partial r} \right)
+
\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{h_\phi h_r}{h_\theta} \frac{\partial \psi}{\partial \theta} \right)
+
\frac{\partial}{\partial \phi}\left(\frac{h_r h_\theta}{h_\phi} \frac{\partial \psi}{\partial \phi} \right)
\right]
\end{align}\]
この式にスケール因子 \(h_i\) をそれぞれ代入すると、
\[\begin{align}
&\nabla\cdot\nabla \psi(r, \theta, \phi) \nonumber\\
& =
\frac{1}{r^2 \sin\theta}
\left[
\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \sin\theta \frac{\partial \psi}{\partial r} \right)
+
\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta \frac{\partial \psi}{\partial \theta} \right)
+
\frac{\partial}{\partial \phi}\left(\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial \psi}{\partial \phi} \right)
\right]\nonumber\\
& =
\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial \psi}{\partial r} \right)
+
\frac{1}{r^2 \sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta \frac{\partial \psi}{\partial \theta} \right)
+
\frac{1}{r^2 \sin^2\theta} \frac{\partial^2 \psi}{\partial \phi^2}
\end{align}\]

球座標系でのシュレディンガー方程式
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