Numerov 法で 3 次元シュレディンガー方程式を等間隔メッシュで解く

球対称ポテンシャルにおける動径方向のシュレディンガー方程式

球対称ポテンシャルでのシュレディンガー方程式の変数分離より、球対称ポテンシャルの \(V(r)\) において動径方向の波動関数 \(R(r)\) に対するシュレディンガー方程式は次のようになります。
\[
\frac{\hbar^2}{2m_e r^2}\frac{d}{dr} \left(r^2 \frac{d}{dr} R(r)\right) – (V(r)-E)R(r) = \frac{\hbar^2}{2 m_e} \frac{l(l+1)}{r^2} R(r)
\]
ハートリー原子単位系では次のようになります。
\[
\frac{1}{2r^2}\frac{d}{dr} \left(r^2 \frac{d}{dr} R(r)\right) – (V(r)-E)R(r) = \frac{l(l+1)}{2 r^2} R(r) \label{eq:schrodinger-rad-hartree}
\]
この方程式は \(r\) での 1 階微分の項があるので、そのままでは Numerov 法を適用することができません。

Numerov 法が適用できるように変換

ここで\(u(r) = rR(r)\) で変数変換します。
\[\begin{gather}
\frac{d}{dr}R(r) = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}u(r)-\frac{u(r)}{r^2}\\
\frac{d}{dr} \left(r^2 \frac{d}{dr} R(r)\right) = \frac{d}{dr}u(r) + r\frac{d^2}{dr^2}u(r) – \frac{du}{dr} = r\frac{d^2u}{dr^2}
\end{gather}\]

これらを式\eqref{eq:schrodinger-rad-hartree} に代入すると以下の式を得ます。
\[\begin{gather}
\frac{d^2 u}{d r^2} + 2 \left(E – V – \frac{l(l+1)}{2r^2}\right) u(r) = 0
\end{gather}\]

この方程式は r に対する 1 階微分の項を含みませんので、Numerov 法を適用することができます。
\[
u_{n+1} = \frac{2(1-\frac{5}{12}k_n^2\Delta r^2)u_n – (1+\frac{1}{2}k_{n-1}^2\Delta r^2)u_{n-1}}
{1+\frac{1}{12} k^2_{n+1}\Delta r^2}
\]
ただし、\(\Delta r\) は動径方向のメッシュの間隔で、
\[\begin{gather}
R(r_n) = \frac{u_n}{r_n} \\
k^2_n = 2\left(E-V(r)-\frac{l(l+1)}{2r^2}\right)
\end{gather}\]

Numerov 法で 3 次元シュレディンガー方程式を指数メッシュで解く
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