Numerov 法で 1 次元シュレディンガー方程式を解く

1 次元のシュレディンガー方程式

1 次元の時間非依存のシュレディンガー方程式は以下のように表されます。
\[
-\frac{\hbar^2}{2m_e}\frac{d^2\psi}{dx^2}+V(x)\psi(x)=E\psi(x)
\]

これをハートリー原子単位系で書き直すと \(\hbar=1\)、\(m_e=1\)から次のように書き直せます。

\[
-\frac{1}{2}\frac{d^2\psi}{dx^2}+(V-E)\psi(x)=0 \label{eq:schrodinger-hartree}
\]

Numerov 法の適用

シュレディンガー方程式 \eqref{eq:schrodinger-hartree} は、\(\psi\) に対する 1 階微分係数がないので、等間隔メッシュでそのまま Numerov 法を適用できます。

まず、\(k^2=2(E-V)\) と定義すると、シュレディンガー方程式が少し簡単になります。

\[
\frac{d^2\psi}{dx^2}+k^2\psi(x)=0
\]

この式に Numerov 法を適用すると、次の差分方程式が得られます。
\[
\psi_{n+1} = \frac{2(1-\frac{5}{12}k_n^2\Delta x^2)\psi_n – (1+\frac{1}{2}k_{n-1}^2\Delta x^2)\psi_{n-1}}
{1+\frac{1}{12} k^2_{n+1}\Delta x^2}
\]

ただし、\(\Delta x\) はメッシュの間隔で、\(k_n = k(x_n)\) です。

参考

Numerov 法で 3 次元シュレディンガー方程式を等間隔メッシュで解く
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