テーラー展開と差分法

微分を差分で近似

微分係数を数値計算で算出したい場合には、差分法を使います。

この際、全ての差分法の基本となるのがテーラー展開です。

\[\begin{align}
y_{n+1}
&= y_{n} + h y^{\prime}_{n} + \frac{1}{2} h^2 y^{\prime\prime}_{n} + \frac{1}{2\cdot3} h^3 y^{\prime\prime\prime} + \cdots \\
\end{align}\]
ただし
\[\begin{gather}
y_{n} = y(x_n)\\
h = x_{n+1}-x_{n}
\end{gather}\]

オーダー記法

オーダー記法を用いて、テイラー展開を有限で打ち切ることによる誤差を\(\mathcal{O}(h^k)\)で表現します。
\[\begin{align}
y_{n+1} &= y_{n} + \mathcal{O}(h)\\
y_{n+1} &= y_{n} + h y^{\prime}_{n} + \mathcal{O}(h^2) \label{eq:taylor1}\\
y_{n+1} &= y_{n} + h y^{\prime}_{n} + \frac{1}{2} h^2 y^{\prime\prime}_{n} + \mathcal{O}(h^3) \label{eq:taylor2}\\
y_{n+1} &=\sum_{k=0}^{N} \frac{1}{k!} h^k\frac{d^k}{dx^k}y_n + \mathcal{O}(h^{N+1})
\end{align}\]

1階微分

テーラー展開 \eqref{eq:taylor1} から1階微分を次のように差分で近似できます。
\[
y^{\prime}_{n} = \frac{y_{n+1} – y_{n}}{h} + \mathcal{O}(h)
\]

2 階微分

2 階微分についても同様です。テーラー展開を逆側にとると

\[\begin{align}
y_{n-1}
&= y_{n} – h y^{\prime}_{n} + \frac{1}{2} h^2 y^{\prime\prime}_{n} + \mathcal{O}(h^3) \label{eq:taylor3}
\end{align}\]
\eqref{eq:taylor2} と \eqref{eq:taylor3} を両辺加えた上で移項して整理すると、以下の式が得られます。
\[\begin{align}
y^{\prime\prime}_{n} = \frac{y_{n+1} – 2 y_{n} + y_{n-1}}{h^2} + \mathcal{O}(h)
\end{align}\]

Numerov 法とは
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