Numerov 法とは

Numerov法

Numerov 法とは以下の形の 2 階微分方程式を解く方法の一つです。
\[
\frac{d^2}{dx^2} y(x) + g(x) y(x) = s(x)
\]

このとき s(x) が 0 ならば、以下の差分方程式を解くことでこの微分方程式を解くことができます。
\[
\left(1+\frac{1}{12} h^2 g_{n+1}\right) f_{n+1} = 2\left(1-\frac{5}{12}h^2g_n\right)f_n – \left(1+\frac{1}{12}h^2g_{n-1}\right) f_{n-1} + O(h^6)
\]
これだけシンプルな式で\(O(h^6)\) という誤差の微分方程式の解法があるというのは、かなり衝撃的です。

ただし、条件は少し厳しくて、f(x) の 1 階の微分の係数が 0 であることが求めらます。

Numerov 法の証明

\(y(x)\) の 2 階微分は 3 点の差分で以下のように近似できます。
\[
\frac{y_{n+1} – 2 y_n + y_{n-1}}{h^2} = y^{\prime\prime}_n + \frac{h^2}{12} y^{\prime\prime\prime\prime}_n + \mathcal{O}(h^4)
\]

\(y^{\prime\prime}_n\) は与えられた微分方程式から次のようになります。
\[
y^{\prime\prime}_n = s_n – g_n y_n
\]
\(y^{\prime\prime}_n\) のさらに 2 階微分を再び 3 点の差分で近似し、\(y^{\prime\prime}_n\) の微分方程式を代入します。
\[\begin{gather}
\frac{y^{\prime\prime}_{n+1} – 2 y^{\prime\prime}_n + y^{\prime\prime}_{n-1}}{h^2} = y^{\prime\prime\prime\prime}_n + \mathcal{O}(h^2)\\
\Leftrightarrow
y^{\prime\prime\prime\prime}_n = \frac{s_{n+1} – g_{n+1} y_{n+1} – 2\{s_n – g_n y_n\} + s_{n-1} – g_{n-1} y_{n-1} }{h^2} + \mathcal{O}(h^2)\\
\end{gather}\]
\(y(x)\) の 3 点差分の式に、\(y^{\prime\prime}_n\) と \(y^{\prime\prime\prime\prime}_n\) の式をそれぞれ代入すると次のようになります。
\[\begin{align}
&\frac{y_{n+1} – 2 y_n + y_{n-1}}{h^2}
=
s_n – g_n y_n \\
& \qquad
+
\frac{1}{12}
\left\{s_{n+1} – g_{n+1} y_{n+1} – 2\{s_n – g_n y_n\} + s_{n-1} – g_{n-1} y_{n-1} \right\}
+ \mathcal{O}(h^4)
\end{align}\]
両辺に \(h^2\) をかけて \(y_{n+1}\)、\(y_{n}\)、\(y_{n-1}\) のそれぞれでまとめます。
\[\begin{align}
y_{n+1}\left(1 + \frac{1}{12}h^2 g_{n+1}\right)
-2 y_{n}\left(1 – \frac{5}{12}h^2 g_n\right)
+y_{n-1}\left(1 + \frac{1}{12}h^2 g_{n-1}\right)&\\
=
\frac{1}{12}h^2\left\{s_{n+1} + 10 s_n + s_{n-1}\right\}
+ \mathcal{O}(h^6)&
\end{align}\]
結局\(y_{n+1}\) についてまとめると次のようになります。
\[\begin{align}
y_{n+1}
=
\left(1 + \frac{1}{12}h^2 g_{n+1}\right)^{-1}
\left\{
2 y_{n}\left(1 – \frac{5}{12}h^2 g_n\right)
-y_{n-1}\left(1 + \frac{1}{12}h^2 g_{n-1}\right)
\right. &\\
+
\left.
\frac{1}{12}h^2\left\{s_{n+1} + 10 s_n + s_{n-1}\right\}
\right\}
+ \mathcal{O}(h^6)&
\end{align}\]

Numerov 法で 1 次元シュレディンガー方程式を解く
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