直交曲線座標系におけるラプラシアン

ラプラシアンの定義

デカルト座標ではラプラシアンはスカラー場\(f\)に対して以下のように定義されます。
\[\begin{align}
\nabla^2 f
&= \nabla \cdot \nabla f \nonumber \\
&= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} \label{eq:def-laplacian}\\
\end{align}\]

このとき直交曲線座標系では以下のようにラプラシアンが表されることを証明します。
\[\begin{align}
\nabla \cdot \nabla f =
\frac{1}{h_1 h_2 h_3}
&\left\{
\frac{\partial}{\partial q_1}\left(\frac{h_2 h_3}{h_1}\frac{\partial f}{\partial q_1}\right) \right. \nonumber\\
& + \frac{\partial}{\partial q_2}\left(\frac{h_3 h_1}{h_2}\frac{\partial f}{\partial q_2}\right) \nonumber\\
& + \left.\frac{\partial}{\partial q_3}\left(\frac{h_1 h_2}{h_3}\frac{\partial f}{\partial q_3}\right)
\right\}
\end{align}\]

直交曲線座標系の単位ベクトル

直交曲線座標系における勾配よりスカラー場 \(f\) の勾配は以下の式で表されます。
\[\begin{align}
\nabla f =
\frac{1}{h_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \mathbf e_1 +
\frac{1}{h_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \mathbf e_2 +
\frac{1}{h_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \mathbf e_3 \label{eq:curvilinear-grad}
\end{align}\]

また直交曲線座標系における発散よりベクトル場 \(\mathbf g\) の発散は以下の式で表されます。
\[\begin{align}
\nabla \cdot \mathbf g
&=
\frac{1}{h_1 h_2 h_3}
\left\{
\frac{\partial}{\partial q_1}(g_1 h_2 h_3) +
\frac{\partial}{\partial q_2}(h_1 g_2 h_3) +
\frac{\partial}{\partial q_3}(h_1 h_2 g_3)
\right\} \label{eq:curvilinear-div}
\end{align}\]
ただし \(g_i = \mathbf g \cdot \mathbf e_i\) です。

ラプラシアンの定義である式 \eqref{eq:def-laplacian} に式 \eqref{eq:curvilinear-grad} を代入すると
\[\begin{align}
&\nabla \cdot \nabla f
=
\nabla \cdot \left(
\frac{1}{h_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \mathbf e_1 +
\frac{1}{h_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \mathbf e_2 +
\frac{1}{h_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \mathbf e_3
\right) \nonumber\\
\end{align}\]

この式に式\eqref{eq:curvilinear-div} を \(\mathbf g = \nabla f\) として代入すると、
\[\begin{align}
\nabla \cdot \nabla f =
\frac{1}{h_1 h_2 h_3}
&\left\{
\frac{\partial}{\partial q_1}\left(\frac{h_2 h_3}{h_1}\frac{\partial f}{\partial q_1}\right) \right. \nonumber\\
& + \frac{\partial}{\partial q_2}\left(\frac{h_3 h_1}{h_2}\frac{\partial f}{\partial q_2}\right) \nonumber\\
& + \left.\frac{\partial}{\partial q_3}\left(\frac{h_1 h_2}{h_3}\frac{\partial f}{\partial q_3}\right)
\right\}
\end{align}\]

球座標系におけるラプラシアン
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