直交曲線座標系における発散 (div)

発散の定義

デカルト座標系において発散 (div) はベクトル場 \(\mathbf f\) に対して次の式で与えられます。
\[
\nabla \times \mathbf f
=
\left(
\mathbf e_x \frac{\partial}{\partial x} +
\mathbf e_y \frac{\partial}{\partial y} +
\mathbf e_z \frac{\partial}{\partial z}
\right)
\cdot
\left(
f_x \mathbf e_x +
f_y \mathbf e_y +
f_z \mathbf e_z
\right) \label{eq:define-div}
\]

ここでベクトル場 \(\mathbf f\)の直交曲線座標系の基底 \((\mathbf e_1, \mathbf e_2, \mathbf e_3)\) での成分を \((f_1, f_2, f_3)\) と定義します。
\[
f_i = \mathbf f \cdot \mathbf e_i
\]

このとき直交曲線座標系において以下の式が成立することを証明します。
\[\begin{align}
\nabla \cdot \mathbf f
&=
\left(
\frac{\mathbf e_1}{h_1} \frac{\partial}{\partial q_1} +
\frac{\mathbf e_2}{h_2} \frac{\partial}{\partial q_2} +
\frac{\mathbf e_3}{h_3} \frac{\partial}{\partial q_3}
\right) \cdot (\mathbf e_1 f_1 + \mathbf e_2 f_2 + \mathbf e_3 f_3) \nonumber\\
&=
\frac{1}{h_1 h_2 h_3}
\left[
\frac{\partial}{\partial q_1}(f_1 h_2 h_3) +
\frac{\partial}{\partial q_2}(h_1 f_2 h_3) +
\frac{\partial}{\partial q_3}(h_1 h_2 f_3)
\right]
\end{align}\]

発散の変数変換

次に式 \eqref{eq:define-div} を直交曲線座標 \((q_1, q_2, q_3)\) に変数変換します。
\[\begin{align}
\nabla \times \mathbf f
=
&\left[
\mathbf e_x
\left(
\frac{\partial q_1}{\partial x} \frac{\partial }{\partial q_1} +
\frac{\partial q_2}{\partial x} \frac{\partial }{\partial q_2} +
\frac{\partial q_3}{\partial x} \frac{\partial }{\partial q_3}
\right) \right. \nonumber \\
& + \mathbf e_y
\left(
\frac{\partial q_1}{\partial y} \frac{\partial }{\partial q_1} +
\frac{\partial q_2}{\partial y} \frac{\partial }{\partial q_2} +
\frac{\partial q_3}{\partial y} \frac{\partial }{\partial q_3}
\right) \nonumber \\
& +
\left. \mathbf e_z
\left(
\frac{\partial q_1}{\partial y} \frac{\partial}{\partial q_1} +
\frac{\partial q_2}{\partial y} \frac{\partial}{\partial q_2} +
\frac{\partial q_3}{\partial y} \frac{\partial}{\partial q_3}
\right) \right]\cdot \mathbf f
\end{align}\]

\(\displaystyle \frac{\partial}{\partial q_i}\) に着目してくくりだし、直交曲線座標とデカルト座標の微分変数の交換で証明した \(\displaystyle \frac{\partial q_i}{\partial x} = \frac{1}{h_i^2} \frac{\partial x}{\partial q_i} \) などの関係式を代入して整理すると
\[\begin{align}
\nabla \times \mathbf f
=
&\left[
\frac{1}{h^2_1}
\left(
\mathbf e_x \frac{\partial x}{\partial q_1} +
\mathbf e_y \frac{\partial y}{\partial q_1} +
\mathbf e_z \frac{\partial z}{\partial q_1}
\right) \frac{\partial }{\partial q_1}\right. \nonumber \\
& + \frac{1}{h^2_2}
\left(
\mathbf e_x \frac{\partial x}{\partial q_2} +
\mathbf e_y \frac{\partial y}{\partial q_2} +
\mathbf e_z \frac{\partial z}{\partial q_2}
\right) \frac{\partial }{\partial q_2} \nonumber \\
& + \left.
\frac{1}{h^3_2}
\left(
\mathbf e_x \frac{\partial x}{\partial q_3} +
\mathbf e_y \frac{\partial y}{\partial q_3} +
\mathbf e_z \frac{\partial z}{\partial q_3}
\right) \frac{\partial }{\partial q_3}
\right] \nonumber \\
&\qquad \cdot
\left(
f_1 \mathbf e_1 +
f_2 \mathbf e_2 +
f_3 \mathbf e_3
\right)
\end{align}\]
ここで、直交曲線座標系における単位ベクトルで説明した \(\mathbf e_i\) の定義
\[
\mathbf e_i =
\frac{1}{h_i}\left(
\mathbf e_x \frac{\partial x}{\partial q_i} +
\mathbf e_y \frac{\partial y}{\partial q_i} +
\mathbf e_z \frac{\partial z}{\partial q_i}
\right)
\]
と見比べると以下の方程式を得ます。
\[\begin{align}
\nabla \cdot \mathbf f
&=
\left(
\frac{\mathbf e_1}{h_1} \frac{\partial}{\partial q_1} +
\frac{\mathbf e_2}{h_2} \frac{\partial}{\partial q_2} +
\frac{\mathbf e_3}{h_3} \frac{\partial}{\partial q_3}
\right) \cdot (\mathbf e_1 f_1 + \mathbf e_2 f_2 + \mathbf e_3 f_3) \label{eq:define-curvilinear-div}\\
\end{align}\]
この式が直交曲線座標系における発散の表現です。

発散の計算

直交曲線座標系の単位ベクトルで説明したように、単位ベクトルの位置での偏微分は以下の式で表されます。
\[\begin{align}
\frac{\partial \mathbf e_i}{\partial q_i}
&= -\sum_{k\neq i} \frac{1}{h_k}\frac{\partial h_i}{\partial q_k}\mathbf e_k\\
\frac{\partial \mathbf e_j}{\partial q_i}
&= \frac{1}{h_j}\frac{\partial h_i}{\partial q_j} \mathbf e_i \qquad (i\neq j のとき)
\end{align}\]
よって、単位ベクトルの位置での偏微分と単位ベクトルとの内積は次のようになります。
\[\begin{align}
\mathbf e_i \cdot \frac{\partial \mathbf e_i}{\partial q_i} &= 0 \\
\mathbf e_i \cdot \frac{\partial \mathbf e_j}{\partial q_i} &=
\frac{1}{h_j}\frac{\partial h_i}{\partial q_j}\mathbf e_j \qquad (i \neq j のとき)\\
\end{align}\]
これらを式\eqref{eq:define-curvilinear-div} の各項に代入すると
\[\begin{align}
\frac{\mathbf e_1}{h_1}\frac{\partial}{\partial q_1}(\mathbf e_1 f_1)
&=
\frac{\mathbf e_1}{h_1}\cdot\frac{\partial \mathbf e_1}{\partial q_1} f_1
+ \frac{\mathbf e_1}{h_1}\cdot\frac{\partial f_1}{\partial q_1} \mathbf e_1
=
\frac{1}{h_1}\frac{\partial f_1}{\partial q_1} \nonumber\\
\frac{\mathbf e_2}{h_2}\frac{\partial}{\partial q_2}(\mathbf e_1 f_1)
&=
\frac{\mathbf e_2}{h_2}\cdot\frac{\partial \mathbf e_1}{\partial q_2} f_1
+ \frac{\mathbf e_2}{h_2}\cdot\frac{\partial f_1}{\partial q_2} \mathbf e_1
=
\frac{f_1}{h_1 h_2}\frac{\partial h_2}{\partial q_1} \nonumber\\
\frac{\mathbf e_3}{h_3}\frac{\partial}{\partial q_3}(\mathbf e_1 f_1)
&=
\frac{\mathbf e_3}{h_3}\cdot\frac{\partial \mathbf e_1}{\partial q_3} f_1
+ \frac{\mathbf e_3}{h_3}\cdot\frac{\partial f_1}{\partial q_3} \mathbf e_1
=
\frac{f_1}{h_3 h_1}\frac{\partial h_3}{\partial q_1} \nonumber\\
\end{align}\]

よって式\eqref{eq:define-curvilinear-div} の \(\mathbf e_1 f_1\) との内積部分は以下のようになります。
\[\begin{align}
&\left(
\frac{\mathbf e_1}{h_1} \frac{\partial}{\partial q_1} +
\frac{\mathbf e_2}{h_2} \frac{\partial}{\partial q_2} +
\frac{\mathbf e_3}{h_3} \frac{\partial}{\partial q_3}
\right) \cdot (\mathbf e_1 f_1) \nonumber \\
&\qquad =
\frac{1}{h_1}\frac{\partial f_1}{\partial q_1} +
\frac{f_1}{h_1 h_2}\frac{\partial h_2}{\partial q_1} +
\frac{f_1}{h_3 h_1}\frac{\partial h_3}{\partial q_1} \nonumber\\
&\qquad =
\frac{1}{h_1 h_2 h_3}\frac{\partial}{\partial q_1}(f_1 h_2 h_3)\\
\end{align}\]

式\eqref{eq:define-curvilinear-div} の \(\mathbf e_2 f_2\) や \(\mathbf e_3 f_3\) との内積部分も同様に求められるので、結局、直交曲線座標系の発散は以下の式で求められます。
\[\begin{align}
\nabla \cdot \mathbf f
&=
\left(
\frac{\mathbf e_1}{h_1} \frac{\partial}{\partial q_1} +
\frac{\mathbf e_2}{h_2} \frac{\partial}{\partial q_2} +
\frac{\mathbf e_3}{h_3} \frac{\partial}{\partial q_3}
\right) \cdot (\mathbf e_1 f_1 + \mathbf e_2 f_2 + \mathbf e_3 f_3) \nonumber\\
&=
\frac{1}{h_1 h_2 h_3}
\left[
\frac{\partial}{\partial q_1}(f_1 h_2 h_3) +
\frac{\partial}{\partial q_2}(h_1 f_2 h_3) +
\frac{\partial}{\partial q_3}(h_1 h_2 f_3)
\right]
\end{align}\]

参考

直交曲線座標系における回転 (rot)
>>次ページ