直交曲線座標系

直交曲線座標系とは

ここでは直交曲線座標系 (Orthogonal Curvilinear Coordinate) におけるベクトル解析と微分幾何を説明します。

直交曲線座標系は、座標空間が曲がっているものの局所的に見ると各単位ベクトル (基底) が全て直交している座標系です。

直交曲線座標系は、以下のような物理における主要な座標系を含んでいます。

  • デカルト座標
  • 円筒座標
  • 球座標

逆に言えば直交曲線座標系をマスターしておけば、たいていのシチュエーションの解析がこなせるようになります。

直交曲線座標系における微分幾何

直交曲線座標系、特に球座標におけるベクトル解析やら微分幾何は別に珍しくもないテーマでいくつもの教科書で解説されています。

ただ、たいていの教科書やウェブサイトでは、まがった六面体を用いたり、\(δV\) みたいな微小な長さや体積を使ってその上で極限を取る操作を図を用いたりしながら直感的に説明しています。この方法の利点は、単位ベクトルの偏微分とか数式的に面倒くさいのを使わないで公式を導出できるところです。直感的なので公式を覚えやすくもあります。

しかし、この文書では図による説明を排除して、数学的により厳密な取り扱いをして説明をしていきます。このようにすることで、直感力が十分に育っていない初学者が数式の取り扱いでつまずきやすいポイントを排除しています。代わりに単位ベクトルの偏微分を初めとしたゴチャゴチャした数式と向き合う必要が出てきますが、通常の数学的な取り扱いに即しているので悩むところは少ないと思います。

決して図を書くのが面倒だからとか、そういう理由ではないのです。きっと。

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直交曲線座標系における単位ベクトル
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