かけ算の順序はむやみに変えたらいけないし 3.9 + 5.1 は 9.0 ではなくて 9 である

Posted on 2016年11月23日 by ignis

小学生の算数のテストでかけ算の順序を変えたらペケにされたとか、\(3.9+5.1 = 9.0\) と書いたら \(.0\) は不要として減点されたということがネットで問題視されて、中には子供に対する虐待だとまで言っている人がいます。

しかし、個人的には、教育的見地から見ると、どちらも妥当に思えます。なぜなら小学校の算数とは、授業で教えられた範囲で解くことをトレーニングする場所だからです。

テストは相手が理解しているかを試している

「100 を 3回足すことを \(100 \times 3\) と書くこととします。
では 200 を 5 回足すのはどのように書いたらいいでしょうか」
\[
5 \times 200
\]
もし、こんな解答を見たら、私は日本語が読めてないと判断します。

「いや、そんなことはない、正しいから問題ない」という人がいるかもしれませんね。

では、次はどうでしょうか。

「400 円を 4 人で分けることを \(400 \div 4\) と書くこととします。
では 800 円を 2 人で分けることはどのように書くでしょうか」
\[
2 \div 800
\]
もし、こんな解答を見たら今度は誰もがペケをつけると思います。

でも、まともに考えれば、当の本人の日本語の理解度はどちらも同じぐらいと考えるべきでしょう。つまり両方とも適当に数字と記号を並べただけです。

定義を理解する

教える側の観点からすると、かけ算が交換できることを許すと、本当に理解してなくて間違えているのか、交換できることを知っていてわざと逆順に書いているのかは立式だけでは判断できないのです。

典型的には「ずつ」という単語があったら、そこから数字を適当に2つ選んでかけ算記号と並べるという生徒がいることは容易に想像できます。また、実際かけ算の授業だったらそれだけで高得点を取ることも容易です。

かけ算の交換を禁じることで、このまともに文章を理解していない生徒を容易に抽出できるようになるのです。

誰かに教えてもらったのだから問題ない？

いや、\(a \times b = b \times a\) は直感的に理解しているから問題ない、子供の数字に対する直感を大事にすべきだ、という人もいるかもしれません。

ただ、そもそも、本当にその直感が正しいって、誰が保証しているのでしょうか。
ペケにするぐらいだから、かけ算の交換則は授業では教えてないのですよね。

本当に直感で正解を当てられるぐらいなら、算数の点数なんてみんな満点ですよね。

では、隣の家のさっちゃんが教えてくれたから正しい、はどうでしょうか。
でも当のさっちゃんは、いつも算数のテストで100点が取れているのでしょうか。
そんな子の言うことを鵜呑みにしていいのですか？

お父さんが教えてくれたから？ Google 先生が教えてくれたから？ Wikipedia 先生が教えてくれたから？中学校の教科書に書いてあったから？

小学校の算数における正しさとは

たとえば小学生に分数を教えていると考えましょう。

次の分数のかけ算の問題を考えてみます。
\[
\frac{2}{3} \div \frac{5}{2} = \frac{2}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{4}{15}
\]

この問題に対して「どうして分数の割り算は分子と分母を逆にした分数とのかけ算になるの」というのはよくある質問です。

これは実は小学校の算数の範囲で証明ができます。
\[\begin{align}
\frac{2}{3} \div \frac{5}{2}
&= \frac{2}{3} \times 1 \div \frac{5}{2}\\
&= \frac{2}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{5}{2} \div \frac{5}{2} \qquad (なぜなら \frac{2}{5} \times \frac{5}{2} = 1) \\
&= \frac{2}{3} \times \frac{2}{5} \times 1 \qquad (なぜなら \frac{5}{2} \div \frac{5}{2} = 1)\\
&= \frac{2}{3} \times \frac{2}{5}
\end{align}\]

とはいえ、こんな証明をされても、一部の変態を除けばキョトンとされるのがオチでしょう。

「授業で教えた方法だから正しいの」

というのは小学生に対しては不誠実な回答ではないと思います。

小学校の算数における誤りとは

次に小学生に分数の足し算を教えていると考えましょう。
\[
\frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2+1}{3+2} = \frac{3}{5}
\]
という回答をしたら、みんなペケをつけると思います。

では「なんで間違いなの」と聞かれたらどう答えたらいいでしょうか。いろいろ説明がありえますが、これも

「授業で教えた方法とは違うから」

というのも、やはり小学生に対しては不誠実な回答ではないと私は思います。

つまり「授業で教えていない方法は誤りである」という大方針を失うと、そもそも小学生に算数など教えられません。

また、それは将来的にも与えられた公理もしくは条件下で命題を証明するという能力の基礎になるので、一概に否定できるものでもありません。

でも正しいものは正しい

とはいえ正しい定理を使えないのは許せない、と考えている人も多いでしょう。
でも小学生は正しい定理を使ってはいけないことがあるのです。

中学生以上なら \(a = b\) かつ \(c = b\) なら \(a = c\) が正しいと思っていると思います。

では次の2つの割り算をみてください。
\[\begin{gather}
7 \div 3 = 2 あまり 1\\
5 \div 2 = 2 あまり 1
\end{gather}\]

では次の式は正しいのでしょうか。
\[\begin{gather}
7 \div 3 = 5 \div 2
\end{gather}\]

もちろん正しくありません。

ではなぜ正しくないのでしょうか。
「\(a = b\) かつ \(c = b\) なら \(a = c\) なんて授業で言ってないよね」というのはもっとも簡単な説明ですよね。

3.9 + 5.1 = 9.0 は正しいか

\(3.9 + 5.1 = 9.0\) と解答したら 9.0 ではなくて 9 だとして減点になったという記事も話題を呼びました。

中には「9.0 は有効桁数を表しているのだから正しい」という意見までありました。

念のため言っておくと、9.0 で有効桁数 2 桁といった場合、最後の桁は変わる可能性がある、というのが有効桁数の定義です。算数の問題で最後の桁の値が変わったら大問題ですので、有効桁数を持ち出すのはセンスがないです。

まあ、こんな揚げ足取りはともかくとして、9.0 が正しいと言っている人は 9.000 と書いても減点する必要がないと思っているのでしょうか。

まあ、これぐらいなら OK という人もいるかもしれません。

では、\(0.9 × 10^1\) はどうでしょうか？ 90/10 は？

数の表現はいくらでもありえますが、小学校の算数では、最後の桁の 0 は省略するというルールがあり、そのルールに則らない場合に減点するのは無理からぬことです。

たとえば小学生の場合、分数計算は帯分数で書くことが求められることがあります。
\[
\frac{2}{3} + \frac{1}{2} = 1\frac{1}{6}
\]
ここで仮分数の \(\frac{7}{6}\) と解答して、値が同じで中学校以降ではこれが正解だと言っても、帯分数で解答を求められているのだから不正解になるのは仕方がないところです。

この考え方は中学、高校でも同じです。有理化を求められているのに
\[
\frac{1}{\sqrt{a + b}}
\]
と解答していたら減点です。
\[
\frac{\sqrt{a+b}}{a+b}
\]
と解答する必要があります。数式として汚ないとか正しいとかは関係ありません。

また、複素数で分母を実数にするように求められれば、
\[
\frac{1} {1 + i}
\]
ではなく、次のように解答する必要があります。
\[
\frac{1 – i} {2}
\]

ここで見たように、9.0 ではなくて、 9 と答える必要があるのは、それは「小学校ではそういうルールだから」で本当は十分なのです。
必然性とか数学的な正しさとは関係ありません。

相手がそういう解答を求めているのに、そうでない解答をするのが減点対象になるのは必然です。

まとめ

算数だろうが数学だろうが、ローカルなルールに従って、数字や数式をいじくりまわす学問です。

そのため、小学校で「授業で教えていないことは使ってはいけない」というのはそこまで理不尽ではない範囲の、数学的な思考の訓練なのです。逆にこの方針なしでは、数式の操作もままならず証明もまともに扱えない小学校の算数では、何が正解で何が不正解か、誰にも答えられないルール無用のデスマッチになってしまいます。

一方で数式の操作ルールがはっきりと定義され、曲がりなりにも証明がベースになる中学校以降の数学は、解答に際してあらゆる技法を駆使していいとも思います。正しい手順を追えば原理的には誰でも正しさが確認できますから。

この記事の続き。実は中学校でもかけ算の順序を守る必要があるというお話

かけ算の順序を守ることはコーディング・ルールを守ること

参考